ベランダの草

この植物は名前がわからないのです。緑がとても綺麗な草なんです。
妻が友人からもう15年以上前に譲り受けたもので、その人も名前がわからなくて、草と呼んでいたとのこと。いま1メートル四方くらいの大きさに育っています。でも、ずっと続けていると元気が無くなってくるので、挿し芽をしながら世代交代を行ってきました。
適当にカットして、軟らかくした土に射していると、数ヶ月すると、プランター一杯に広がります。
この時期になると、この写真ではちょっとわかりづらいのですが、真っ白な小さな、可憐な花を咲かせます。
どなたかこの草の名前をご存じないでしょうか?